Una IA construye una singularidad en Navier–Stokes y aspira a cerrar un Problema del Milenio

OpenAI ha publicado una demostración de 166 páginas, acompañada por una formalización en Lean, que describe una solución tridimensional de Navier–Stokes cuya velocidad se hace ilimitada en un tiempo finito pese a partir del reposo, mantener una energía acotada y estar sometida únicamente a una fuerza externa suave. El resultado, obtenido mediante unos 10.000 agentes de inteligencia artificial, se apoya en una línea de investigación abierta por los matemáticos españoles Diego Córdoba y Luis Martínez-Zoroa. La prueba responde a una de las alternativas admitidas por el Instituto Clay, pero todavía debe superar una revisión matemática y computacional que puede prolongarse durante años.

OpenAI sostiene haber resuelto el problema de existencia y regularidad de las ecuaciones de Navier–Stokes, uno de los siete Problemas del Milenio establecidos en 2000 por el Clay Mathematics Institute. La afirmación se apoya en un manuscrito analítico de 166 páginas y en un repositorio informático que contiene una formalización de la prueba en el asistente lógico Lean. No obstante, lo correcto es afirmar que la compañía ha presentado una posible solución. El trabajo acaba de hacerse público, no ha pasado por una revista científica y todavía no ha alcanzado la aceptación general de los especialistas.

La distinción es importante porque la IA no ha encontrado una expresión universal con la que calcular cualquier corriente ni ha creado un nuevo programa de dinámica de fluidos computacional. Tampoco ha «resuelto las ecuaciones» en el sentido habitual de obtener el campo de velocidades alrededor de un avión, una turbina o una conducción. Lo que propone es contestar una pregunta lógica mucho más básica: si las ecuaciones tridimensionales permiten garantizar que un movimiento inicialmente regular seguirá siendo regular siempre o si existe al menos una configuración en la que la solución desarrolla una singularidad.

Para un fluido newtoniano, incompresible y de densidad constante, las ecuaciones establecen el equilibrio entre cinco ingredientes: la variación temporal de la velocidad, el transporte de momento debido al propio movimiento, la difusión viscosa, el gradiente de presión y las fuerzas externas aplicadas al fluido. A ello se añade la condición de incompresibilidad, que impide que el volumen de un elemento material cambie durante su movimiento.

El origen de la dificultad está fundamentalmente en el término convectivo. La velocidad transporta a la propia velocidad, lo que introduce una realimentación no lineal. En tres dimensiones, además, los tubos de vorticidad pueden estirarse. Al alargarse, su sección disminuye y la rotación puede intensificarse, un mecanismo sin equivalente directo en el problema bidimensional. La viscosidad actúa en sentido contrario: difunde los gradientes y tiende a suavizar el campo. El Problema del Milenio pregunta, en esencia, si esa disipación resulta siempre suficiente para impedir una concentración ilimitada.

Ecuaciones que funcionan en la práctica

Las ecuaciones se utilizan diariamente con notable éxito en aerodinámica, hidráulica, meteorología, combustión, turbomáquinas, ingeniería naval o hemodinámica. La dificultad no radica en que carezcan de utilidad práctica, sino en que nadie había podido demostrar qué sucede para cualquier dato inicial tridimensional suave. Se sabe que en dos dimensiones las soluciones regulares pueden prolongarse indefinidamente. En tres dimensiones también existe regularidad durante un intervalo corto, para datos suficientemente pequeños y bajo numerosas condiciones adicionales. Lo desconocido era si una evolución inicialmente suave podía concentrar vorticidad y velocidad hasta perder su regularidad en un instante finito.

Desde el trabajo de Jean Leray en 1934 se conoce la existencia global de soluciones débiles con energía finita. Una solución débil satisface las ecuaciones en un sentido integral, pero puede carecer de las derivadas necesarias para representar una solución clásica y plantea dificultades de unicidad. El problema no preguntaba, por tanto, si puede construirse alguna evolución global, sino si los datos suaves producen siempre una única solución suave y físicamente razonable.

El enunciado oficial redactado por Charles Fefferman ofrece cuatro maneras de resolverlo. Dos consisten en demostrar la existencia y suavidad global de las soluciones sin fuerza externa, tanto en todo el espacio como en un dominio periódico. Las otras dos permiten refutar esa regularidad universal construyendo unos datos iniciales y una fuerza externa suaves para los que no exista una solución global igualmente suave y con energía acotada. OpenAI afirma haber completado esta segunda vía. La presencia de una fuerza no es una concesión introducida ahora: figura expresamente en el enunciado oficial del Instituto Clay.

Alcance físico del hallazgo

Este matiz resulta esencial para valorar el alcance físico del hallazgo. La prueba no demostraría que un fluido aislado y abandonado a su propia evolución produzca necesariamente velocidades infinitas. Demostraría que existe al menos una fuerza externa, extraordinariamente diseñada pero matemáticamente suave, capaz de conducir las ecuaciones viscosas hacia una singularidad. Eso basta para responder al enunciado formal, pero deja abierta la cuestión más fuerte y físicamente intuitiva de qué sucede cuando no existe fuerza externa.

El teorema presentado es tan preciso como contraintuitivo. Para cualquier valor positivo de la viscosidad, construye una fuerza infinitamente diferenciable y localizada en una región limitada del espacio y del tiempo. El fluido parte completamente del reposo y todo su movimiento queda confinado dentro de una región también limitada. Durante la evolución, la energía cinética total permanece acotada. Sin embargo, al aproximarse un instante concreto, la velocidad máxima crece sin límite en una zona cuyo volumen se reduce progresivamente.

No se trata de que toda la masa de fluido acelere ilimitadamente ni de que la energía total diverja. La singularidad concentra velocidades cada vez mayores en una región cada vez menor. El núcleo singular llega incluso a contener cada vez menos energía, porque su contracción volumétrica es más rápida que el crecimiento de la velocidad en el promedio cuadrático. Esta separación entre amplitud puntual y energía integral es una de las claves matemáticas de la construcción.

El mecanismo está organizado alrededor de un vórtice axisimétrico. El fluido se desplaza radialmente hacia el eje, gira alrededor de él y sale en dirección axial para respetar la incompresibilidad. El transporte de momento angular hacia radios menores acelera la rotación, del mismo modo que un patinador aumenta su velocidad al recoger los brazos. La presión suministra la aceleración centrípeta, mientras la viscosidad transporta momento hacia el exterior.

Columna progresivamente más estrecha y alargada.

El núcleo presenta una estructura aproximadamente autosimilar, pero no se contrae igual en todas las direcciones. Su radio disminuye como la raíz cuadrada del tiempo que falta para alcanzar la singularidad. Su longitud axial también disminuye, aunque mediante una potencia ligeramente menor, por lo que lo hace algo más despacio. El núcleo adopta así la forma de una columna progresivamente más estrecha y alargada.

Las velocidades de rotación y salida axial crecen, aproximadamente, como el inverso de la raíz cuadrada del tiempo restante, corregido por un pequeño exponente adicional. La velocidad radial aumenta algo más lentamente. El parámetro que diferencia ambos ritmos puede escogerse menor de una centésima, pero su presencia resulta decisiva: permite que la velocidad máxima diverja al mismo tiempo que el volumen activo se contrae con suficiente rapidez para mantener acotada la energía.

Desde el punto de vista adimensional, el número de Reynolds asociado al movimiento rotacional crece sin límite, aunque lentamente, mientras que el correspondiente al colapso radial permanece de orden unidad. La singularidad surge así de un equilibrio muy ajustado. El giro se hace progresivamente más dominado por la inercia, pero la difusión viscosa continúa compitiendo con la entrada radial. La solución no elimina la viscosidad ni la vuelve despreciable en todas las direcciones; construye una geometría en la que sus efectos pueden coexistir con una concentración ilimitada.

Escoger un campo de velocidad que diverja no sería suficiente. Para cualquier velocidad inventada podría calcularse después una fuerza capaz de hacer que satisficiera formalmente las ecuaciones, pero esa fuerza probablemente se volvería también infinita. En tal caso, la singularidad no habría sido producida por la dinámica del fluido, sino introducida artificialmente a través de una excitación irregular.

Obstáculo central

El obstáculo central consiste, por ello, en lograr que la aceleración, la convección, la presión y la viscosidad alcancen individualmente valores muy grandes, pero se compensen con tal precisión que su suma siga siendo una fuerza infinitamente diferenciable. La singularidad debe permanecer en la solución y desaparecer del residuo que actúa como fuerza exterior.

El vórtice de base no consigue por sí solo esta cancelación. En el anillo donde el núcleo se conecta con el campo exterior aparece un desequilibrio que también tendería a hacerse singular. La construcción introduce entonces dos familias de pulsos oscilatorios, localizados en el radio, la altura y el tiempo, pero extendidos alrededor de anillos completos. Aunque su promedio de velocidad angular es nulo, los productos entre sus distintas componentes no lo son. Esos productos generan transportes medios de momento comparables, desde una perspectiva física, a una tensión de Reynolds.

La orientación, frecuencia y amplitud de los pulsos se eligen para que ese transporte aporte exactamente el término que falta en el equilibrio del vórtice. Los pulsos extraen energía inicialmente de la cizalladura. Conforme el flujo los deforma, su longitud de onda radial se acorta, aumenta el amortiguamiento viscoso y finalmente desaparecen. La solución emplea una sucesión de estructuras en escalas espaciales y temporales cada vez menores, acompañadas por correcciones que eliminan los errores residuales con precisión creciente.

Contribución de los matemáticos españoles

El campo se conecta finalmente con una región exterior puramente rotacional que satisface exactamente una ecuación de difusión térmica radial. Después se localiza suavemente todo el movimiento dentro de una región compacta. El objetivo de las 166 páginas de estimaciones es acreditar que el residuo y todas sus derivadas continúan siendo finitos al llegar al instante singular. La idea de amplificar vorticidad mediante una cascada de estructuras progresivamente más concentradas no nació en el sistema de IA. Sus antecedentes inmediatos se encuentran en los trabajos de Diego Córdoba, investigador del Instituto de Ciencias Matemáticas —centro mixto del CSIC, la Universidad Autónoma, la Complutense y la Carlos III—, y Luis Martínez-Zoroa, actualmente profesor e investigador de CUNEF Universidad y doctorado bajo la dirección de Córdoba.

En 2023 ambos presentaron una construcción de singularidades para las ecuaciones tridimensionales de Euler, que describen el caso ideal sin viscosidad. La fuerza empleada poseía una derivada continua y casi media derivada adicional en sentido Hölder, además de energía cuadrática finita. Su mecanismo encadena capas de vorticidad en escalas decrecientes: la deformación producida por una capa grande amplifica la siguiente, mientras se limitan la interacción de cada estructura consigo misma y su influencia de retorno sobre las escalas anteriores. El trabajo de Córdoba y Martínez-Zoroa no resolvía todavía el problema de Clay porque carecía de la viscosidad clásica y porque su fuerza no era infinitamente suave, pero abrió una vía concreta hacia la formación dinámica de singularidades.

Córdoba y Martínez-Zoroa, junto con Fan Zheng, extendieron después el mecanismo a unas ecuaciones de Navier–Stokes hipodisipativas. En lugar de la difusión viscosa clásica, estas contienen una disipación fraccionaria mucho más débil. El resultado funciona para órdenes de disipación inferiores aproximadamente a 0,093, lejos todavía del orden dos correspondiente al laplaciano convencional. Publicado en mayo de 2026 en Archive for Rational Mechanics and Analysis, ese avance demostró que la cascada podía sobrevivir a una cierta difusión y proporcionó un puente entre Euler y el problema viscoso completo.

La demostración de OpenAI cita actualmente tres trabajos de Córdoba y Martínez-Zoroa y reconoce que establecieron la estrategia de amplificación entre escalas y control de la regularidad de la fuerza. La construcción final no es una mera reproducción: introduce pulsos oscilatorios para generar los flujos de momento necesarios y desarrolla una extensa maquinaria de corrección, localización y compatibilidad viscosa. Pero la deuda intelectual es sustancial. Los dos españoles no formaron parte del equipo de OpenAI ni redactaron el nuevo manuscrito; aportaron el mecanismo conceptual sobre el que la IA pudo explorar el salto final.

Controversia

La cuestión del reconocimiento ha originado una controversia adicional. Tristan Buckmaster, de la Universidad de Nueva York, y Levent Alpöge, investigador de Anthropic, llevaban cerca de un año utilizando modelos de lenguaje para desarrollar la línea abierta por Córdoba y Martínez-Zoroa. El 15 de agosto obtuvieron resultados de singularidad con fuerza suave para Euler, Boussinesq y el modelo de medios porosos incompresibles, y terminaron una formalización en Lean el día 22. Buckmaster atribuye expresamente la idea fundamental a los matemáticos españoles.

OpenAI puso en marcha su operación el 1 de septiembre después de conocer rumores sobre esos avances. La compañía asegura que sus agentes no accedieron al trabajo privado de Buckmaster y Alpöge y que su demostración sigue un desarrollo diferente, aunque admite que no puede excluir completamente que datos desidentificados procedentes del uso de sus productos hubieran contribuido anteriormente al entrenamiento de los modelos. La primera versión del manuscrito omitió, según informaciones posteriores, algunas referencias españolas que ya aparecen en la versión disponible. Lo acreditado por ahora es una disputa de prioridad y atribución, no una conclusión probada de plagio.

El procedimiento seguido constituye por sí mismo una operación de ingeniería computacional sin precedentes conocidos. OpenAI distribuyó entre diferentes grupos de agentes las cuatro vías previstas por el problema de Clay y varios problemas de dificultad intermedia. Cerca de cien agentes trabajaron unas 50 horas en una cuestión relacionada con la regularidad de las ecuaciones de Euler sin fuerza externa. Cuando apareció una construcción prometedora, la compañía concentró sus recursos en Navier–Stokes y utilizó un sistema de coordinación para intercambiar y consolidar los avances parciales entre grupos.

!0.000 agentes concurrentes y 88 horas

Según las cifras de la empresa, alrededor de 10.000 agentes concurrentes alcanzaron la demostración después de 88 horas. Solo en Navier–Stokes intercambiaron 2,7 millones de mensajes y generaron aproximadamente 130.000 millones de unidades de texto. La formalización y comprobación inicial en Lean requirieron otras 17 horas. El modelo principal, todavía no disponible públicamente, sería significativamente más capaz que GPT-6 Astra. Córdoba ha estimado que el consumo computacional podría equivaler a unos 15 millones de euros, pero no se trata de un coste oficialmente auditado.

Lean proporciona una capa de confianza que no tenían anteriores anuncios de supuestas soluciones. En lugar de evaluar únicamente un texto escrito en lenguaje matemático, el asistente obliga a expresar las definiciones, hipótesis y deducciones mediante reglas formales comprobadas por un núcleo lógico relativamente pequeño. OpenAI ha publicado el repositorio de la formalización, basado en Lean y su biblioteca matemática Mathlib, junto con instrucciones para realizar verificaciones independientes.

Eso no significa que la cuestión esté cerrada. La primera comprobación será informática: reproducir la compilación con las versiones indicadas, inspeccionar las dependencias y confirmar que no existen axiomas adicionales, resultados admitidos sin prueba o componentes externos que el núcleo lógico acepte sin verificar. Esta fase podría completarse en días o semanas.

La segunda será semántica. Lean puede certificar que una conclusión se deriva de unas definiciones, pero no que esas definiciones representen exactamente el problema que la comunidad pretendía plantear. Los especialistas deberán cotejar el teorema formalizado con las alternativas de Fefferman: suavidad de la fuerza en el espacio y el tiempo, divergencia nula de la velocidad, decaimiento espacial o periodicidad, energía acotada, regularidad de la presión y ausencia de una solución global alternativa para los mismos datos. También tendrán que comprobar que la formalización cubre la demostración completa y no una versión debilitada de su resultado principal.

La tercera revisión será propiamente matemática. Varios grupos de análisis de ecuaciones en derivadas parciales deberán estudiar la construcción de los perfiles, las desigualdades que mantienen las tensiones dentro de la región admisible, la convergencia de las correcciones, la separación de los soportes oscilatorios, la suavidad del residuo en el instante singular y la localización final. Especial atención merecerá la afirmación de que todas las derivadas de la fuerza permanecen acotadas mientras la velocidad máxima diverge. Comprender y reconstruir independientemente una prueba de esta longitud probablemente exigirá entre seis meses y más de un año.

Publicación en revista científica

Después vendrá la publicación convencional. El Clay Mathematics Institute no admite demostraciones enviadas directamente. Sus reglas exigen que la solución aparezca en una publicación cualificada, que transcurran al menos dos años desde esa publicación y que haya obtenido aceptación general en la comunidad matemática. Incluso si no se encuentra ningún error, el reconocimiento formal difícilmente podría producirse antes de 2029 y quizá tarde bastante más. OpenAI ha señalado que no pretende reclamar el premio de un millón de dólares.

Para la ingeniería, el posible resultado es fundamental, pero no transforma de inmediato la práctica del cálculo de fluidos. La construcción demostraría la existencia de una excitación suave extremadamente diseñada que produce una singularidad. No afirma que semejante concentración sea habitual en una capa límite, una turbina o una tubería, ni proporciona un cierre para la turbulencia. Tampoco invalida los métodos de volúmenes finitos, elementos finitos o técnicas espectrales, que aproximan flujos concretos con fronteras, compresibilidad, escalas moleculares y mecanismos disipativos alejados del escenario idealizado de la prueba.

Su importancia para el ingeniero es más sutil. El resultado negaría que pueda existir un teorema universal de regularidad para todos los datos y fuerzas suaves admitidos por la formulación. También ofrecería un nuevo banco de pruebas para esquemas adaptativos, detección de concentraciones, criterios de continuación y control del error cerca de regímenes extremos. Una simulación convencional difícilmente reproduciría la cascada sin una resolución que aumentase continuamente, porque la región singular se contrae mientras crecen la velocidad, la vorticidad y las frecuencias espaciales.

El hallazgo más trascendente quizá no sea exclusivamente fluidodinámico. Un sistema multiagente habría tomado una estrategia desarrollada durante años por matemáticos humanos, explorado miles de variantes, combinado argumentos parciales, escrito una prueba de centenares de páginas y producido un certificado formal en menos de una semana. La máquina no partió de un vacío intelectual: el mecanismo decisivo procedía de Córdoba y Martínez-Zoroa y de una larga tradición de análisis matemático de fluidos. Pero convirtió una línea prometedora en una construcción completa a una velocidad y una escala desconocidas hasta ahora.

Hasta que concluya la revisión, Navier–Stokes debe seguir figurando oficialmente como problema pendiente. Si la prueba resiste, no significará que la inteligencia artificial haya aprendido a calcular todos los fluidos, sino algo más preciso: que incluso con viscosidad positiva, energía finita, datos perfectamente regulares y una fuerza también suave, las ecuaciones admiten al menos un camino hacia la pérdida de regularidad en un tiempo finito.